math经典公式

# 柯西不等式

1.向量形式

对于任意两个向量和，其内积的绝对值不大于它们模长的乘积.

2.代数形式

或者

# 向量

# 向量内积（点乘）

定义：对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位——相乘之后求和的操作。

公式：

代数法：对于向量和，其内积为：
几何法：对于非零向量和，其内积为：

其中和分别是向量和的长度（模长），是两向量之间的夹角。

结果：一个标量（一个数）。

几何意义：反映了两个向量的"相似度"。

如果两个向量垂直，则内积为 0
如果方向相同，则内积最大
如果方向相反，则内积最小（为负值）

表示方法：

点号表示：
括号表示：（常用于抽象向量空间）
矩阵表示：

# 向量外积（叉乘）

定义：两个向量运算后产生一个新向量。

公式：

几何法（模长）：向量与的外积的长度为：

方向正交于和，满足右手法则。其中和分别是向量和的长度（模长），是两向量之间的夹角。
代数法（二维）：对于二维向量和，外积为标量：

几何意义：表示以和为邻边的有向平行四边形的面积。正负号表示旋转方向（逆时针为正，顺时针为负）。

举例：向量 (1,2) 和 (3,4) 的外积计算：。绝对值 2 表示它们张成的平行四边形面积为 2，负号表示从 (1,2) 旋转到 (3,4) 是顺时针方向。
代数法（三维）：对于三维向量和，外积为向量：

举例：向量 (1,0,0) 和 (0,1,0) 的外积计算：
- 结果 (0,0,1) 指向 z 轴正方向，垂直于 xy 平面，符合右手法则。

结果：

二维空间：一个标量（数）
三维空间：一个新的向量

几何意义：

模长的几何意义：外积的模长等于以两个向量为邻边的平行四边形的面积。例如，向量 (1,2) 和 (3,4) 的外积为 -2，绝对值 2 表示它们张成的平行四边形面积为 2。
方向的几何意义：外积向量的方向垂直于原向量和所张成的平面。例如，在三维空间中，向量 (1,0,0) 和 (0,1,0) 的外积为 (0,0,1)，方向指向 z 轴正方向，垂直于 xy 平面。
右手法则：用右手四指从第一个向量转向第二个向量，拇指指向就是外积的方向。例如，从 x 轴正方向 (1,0,0) 转向 y 轴正方向 (0,1,0)，拇指指向 z 轴正方向 (0,0,1)。
特殊情况：如果两个向量方向相同或相反，或者其中一个为零向量，则外积为零向量（三维）或零（二维）。例如，向量 (1,2) 和 (2,4) 共线（后者是前者的 2 倍），它们的外积为 1×4 - 2×2 = 0。
应用领域：外积常用于物理学（力矩、角动量、洛伦兹力）、计算机图形学（计算平面法向量、判断三角形朝向）等领域。

表示方法：

叉号表示：
行列式表示：（在二维或三维空间中）

# 矩阵

为什么会有矩阵，用来解决什么问题？

# 行列式

矩阵与行列式的区别

# 方阵（Square Matrix）

行数 = 列数的矩阵

# 矩阵的乘法

# 拉格朗日相关理论

# 1. 拉格朗日乘数法（Lagrange Multiplier Method）

拉格朗日乘数法是一种求解约束优化问题的方法，用于在约束条件下求函数的极值。

# 1.1 基本概念

问题形式：

目标函数：
约束条件：

拉格朗日函数：

其中称为拉格朗日乘数（Lagrange Multiplier）。

# 1.2 求解步骤

构造拉格朗日函数：
求偏导数并令其为零：
解方程组：得到极值点

# 1.3 多约束情况

对于多个约束条件：

目标函数：
约束条件：

拉格朗日函数：

# 1.4 实际应用示例

示例：在约束条件下求函数极值

求在约束下的最小值。

解：

构造拉格朗日函数：
求偏导：
得到：
最小值：

# 2. 拉格朗日方程（Lagrange's Equations）

拉格朗日方程是分析力学中的核心方程，用于描述系统的运动规律。

# 2.1 基本形式

对于有个自由度的系统，拉格朗日方程为：

其中：

是拉格朗日量（Lagrangian）
是动能（Kinetic Energy）
是势能（Potential Energy）
是广义坐标（Generalized Coordinates）
是广义速度（Generalized Velocities）

# 2.2 物理意义

第一项：表示动量的时间变化率
第二项：表示广义力

# 2.3 应用示例：单摆问题

对于单摆，拉格朗日量为：

其中：

是质量
是摆长
是摆角
是重力加速度

应用拉格朗日方程：

计算得到：

即：

这就是单摆的运动方程。

# 3. 变分法与泛函

# 3.1 泛函的定义

泛函（Functional） 是函数的函数，它将函数映射到实数：

其中是函数空间，是实数集。

关键区别：

函数：（数到数）
泛函：（函数到数）

# 3.2 泛函的常见形式

积分型泛函：

能量型泛函：

# 3.3 变分法的定义

变分法（Calculus of Variations） 是寻找使泛函达到极值（最小值或最大值）的函数的方法。

基本问题： 找到函数，使得泛函达到极值。

# 3.4 欧拉-拉格朗日方程

对于泛函，使泛函取极值的函数满足：

这是变分法的核心方程。

# 4. 最速降线问题（Brachistochrone Problem）

# 4.1 问题描述

问题： 在重力作用下，物体从 A 点到 B 点，哪条路径用时最短？

这是变分法中的经典问题，由约翰·伯努利在 1696 年提出。

# 4.2 数学建模

时间泛函：

其中：

是路径函数
是水平距离
是重力加速度

# 4.3 解：摆线（旋轮线）

最速降线的解是摆线（Cycloid），其参数方程为：

其中是参数，是参数变量。

# 4.4 物理意义

摆线具有以下性质：

无论起点和终点在哪里，摆线都是最速路径
这是变分法在物理学中的经典应用
展示了数学优化在物理问题中的威力

# 5. 变分法的应用

# 5.1 物理学应用

最小作用量原理：

拉格朗日量：
作用量泛函：
原理：系统的实际路径使作用量取最小值

应用领域：

经典力学
量子力学
场论
相对论

# 5.2 工程应用

最小曲面问题：

给定边界曲线，找到面积最小的曲面
泛函：

结构优化：

寻找最优结构形状
最小化材料使用
最大化结构强度

# 5.3 图像处理应用

图像去噪：

泛函：
第一项：平滑项（去噪）
第二项：保真项（保持原图）

图像分割：

使用变分法进行图像分割
寻找最优分割边界

# 5.4 机器学习应用

正则化：

在损失函数中加入正则化项
本质上是变分问题

最优控制：

强化学习中的策略优化
可以看作变分问题

# 6. 总结

拉格朗日相关理论体系：

理论	用途	核心方程
拉格朗日乘数法	约束优化问题
拉格朗日方程	分析力学
欧拉-拉格朗日方程	变分法

学习路径建议：

基础：理解函数与泛函的区别
进阶：掌握拉格朗日乘数法求解约束优化
深入：学习拉格朗日方程在力学中的应用
高级：掌握变分法和泛函优化

关键概念：

泛函：函数的函数，输入是函数，输出是数
变分法：寻找使泛函取极值的函数
拉格朗日量：（动能减势能）
最小作用量原理：系统路径使作用量最小

# 导数

#math

上次更新: 2025/11/28, 17:43:54

← RAM ROM 统计学数学概念整理→